13th International Conference on Fracture June 16–21, 2013, Beijing, China -4- 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) d d d d d d d d R a R ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ + + = − − − . According to the Peach-Koehler formula[25], and considering Eqs. (6)—(7), we obtain the image force acting on the dislocation ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ x y xy x y y x x xy y f if z b z b i z b z b τ σ σ τ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − = + + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ , y x y x b ib z z b ib z z z ϕ ϕ ϕ ψ ⎡ ⎤ ′ ′ ′′ ′ = + + + − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (11) where xf and yf are the force in the x and y directions, respectively, ( )0 ˆx z σ , ( ) 0 ˆy z σ and ( )0 ˆ z xyσ are the components of the perturbation stress fields at the dislocation point 0z , ( )0 ˆ z ϕ′ and ( ) 0 ˆ z ψ′ are the perturbation complex potentials in the matrix. According to Qaissaunee and Santare[26], the perturbation complex potentials are calculated as follows: 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ˆ ( ) ( 1) / / d d z R R γ γ γ γ ϕ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎡ ′ = − − − + ⎢ − − − − ⎣ 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) d d a R a R R R γ γ ω ζ ζ ζ ζ ζ ⎤ ′ − + ⎥ − − ⎦ , (12) ( ) 2 0 0 4 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 (2 1) ˆ ( 1) ( ) ( / ) ( / ) d d z R R γ ζ γ γ γ ϕ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎧⎡ − ⎪ ′′ = + + − ⎨⎢ − − − − ⎪⎩⎣ [ ] 2 2 2 0 0 0 0 2 3 2 3 3 0 0 0 0 2 2 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) d d d a R a R c z R R ζ γ ζ γ ϕ ω ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎫ ⎤ ⎪ ′ ′ + − − ⎬ ⎥ − − ⎪ ⎦ ⎭ , (13) ( ) 2 2 0 0 0 2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) ˆ ( 1) ( 1) d d z R R γζ ζ γ γ γ γ ψ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎧ + ′ = − − + − + ⎨ − − − − − ⎩ 4 3 2 4 0 0 0 0 2 2 2 3 2 2 2 0 0 0 0 ( 1)( 3 ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) d d d a R R R R γ γ ζ ζ ζ ζ γ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎡ + + + + − − ⎢ − − − ⎣ − 2 2 0 0 2 3 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 ( ) ( ) ( / ) ( / ) d d d d a R a R R R R R ζ γ ζ γ γ γ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎤ + − + − ⎥ − − − − ⎦ 4 2 4 2 4 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 3 ( 1) / / d d R R R R R ζ ζ ζ γ γ γ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ⎡ − − − − − − + ⎢ − − − − ⎣ ( ) 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) d d a R a R R R γ γ ω ζ ζ ζ ζ ζ ⎤⎫⎪ ′ − + ⎥⎬ − − ⎦⎪⎭ . (14)
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